(1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k； (2)求(1)中的∫0x(t)dt； (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求∫0x

admin2016-06-25 79

问题 (1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫₀^xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k；
(2)求(1)中的

∫₀^x(t)dt；
(3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求

∫₀^xg(t)dt。

选项

答案(1)令φ(x)=∫₀^xf(t)dt一kx，考查 φ(x+T)一φ(x)=∫₀^x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫₀^xf(t)dt+kx =∫₀^Tf(t)dt+∫_T^x+Tf(t)dt—∫₀^xf(t)dt—kT．对于其中的第二个积分，作积分变量代换，令t=u+T，有 ∫_T^x+Tf(t)dt=∫₀^xf(u+T)du=∫₀^xf(u)du， ① 于是 φ(x+T)一φ(x)=∫₀^Tf(t)dt一kT。可见，φ(x)为T周期函数的充要条件是 [*]

解析 (1)证明能取到常数k使∫₀^xft)dt一kx为周期T即可．(1)得到的表达式去求

∫₀^xf(t)出即可得(2)．但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非f(x)恒为常数．对于(3)，由于g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论．由于g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得。

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考研数学二

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