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设A是m×n矩阵,则下列4个命题 ① 若r(A)=m,则非齐次线性方程组Ax=b必有解; ② 若r(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解; ③ 若r(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解; ④ 若r(A)=
设A是m×n矩阵,则下列4个命题 ① 若r(A)=m,则非齐次线性方程组Ax=b必有解; ② 若r(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解; ③ 若r(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解; ④ 若r(A)=
admin
2015-04-30
28
问题
设A是m×n矩阵,则下列4个命题
① 若r(A)=m,则非齐次线性方程组Ax=b必有解;
② 若r(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解;
③ 若r(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解;
④ 若r(A)=n,则齐次方程组Ax=0只有零解
中正确的是________
选项
A、①③.
B、①④.
C、②③.
D、②④.
答案
B
解析
因为A是m×n矩阵,若r(A)=m,说明A的行向量组线性无关,那么它的延伸组必线性无关.所以必有
,故线性方程组Ax=b必有解,①正确.下面只需判断③或④正确即可.
若r(A)=n,说明A的列向量组线性无关,亦即Ax=0只有零解,所以④正确,故应选B.
当r(A)=m时,必有n≥m.如果m=n,则Ax=0只有零解,而m<n时,Ax=0必有非零解,所以②不正确.
当r(A)=n时,
有可能是n+1,方程组Ax=b可以无解.所以③不正确,你能举例说明吗?
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考研数学二
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