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设函数f(x)具有二阶导数,且满足 f(x)+f′(π—x)=sinx, f(π/2)=0, 求f(x).
设函数f(x)具有二阶导数,且满足 f(x)+f′(π—x)=sinx, f(π/2)=0, 求f(x).
admin
2015-12-22
53
问题
设函数f(x)具有二阶导数,且满足
f(x)+f′(π—x)=sinx, f(π/2)=0,
求f(x).
选项
答案
应作代换π一x=u将其化为标准微分方程,然后再求解.为此先在原方程两边求导. 解 在已知等式两端对x求导,得到 f′(x)一f″(π一x)=cosx. 令u=π—x,即x=π一u,上述方程化为 f′(π一u)一f″(u)=cos(π一u)=一cosu, 即 f′(π一x)一f″(x)=一cosx. ① 又 f(x)+f′(π一x)=sinx, ② 由式①一式②得到 一f″(x)一f(x)=一cosx—sinx, 即 f″(x)+f(x)=cosx+sinx ③ 易求得方程③对应的齐次方程的通解为c
1
cosx+c
2
sinx;③的一个特解为 [*],故方程③的通解为 [*] 由f(π/2)=0且f(x)+f′(π—x)=sinx易求得f′(π/2)=1,代入求得 [*] 于是 [*]
解析
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考研数学二
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