设函数f(x)具有二阶导数，且满足 f(x)+f′(π—x)=sinx， f(π／2)=0，求f(x)．

admin2015-12-22 29

问题设函数f(x)具有二阶导数，且满足
f(x)+f′(π—x)=sinx， f(π／2)=0，
求f(x)．

选项

答案应作代换π一x=u将其化为标准微分方程，然后再求解．为此先在原方程两边求导．解在已知等式两端对x求导，得到 f′(x)一f″(π一x)=cosx．令u=π—x，即x=π一u，上述方程化为 f′(π一u)一f″(u)=cos(π一u)=一cosu，即 f′(π一x)一f″(x)=一cosx． ① 又 f(x)+f′(π一x)=sinx， ② 由式①一式②得到一f″(x)一f(x)=一cosx—sinx，即 f″(x)+f(x)=cosx+sinx ③ 易求得方程③对应的齐次方程的通解为c₁cosx+c₂sinx；③的一个特解为 [*]，故方程③的通解为 [*] 由f(π／2)=0且f(x)+f′(π—x)=sinx易求得f′(π／2)=1，代入求得 [*] 于是 [*]

解析

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考研数学二

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