2. 考研
  3. 已知A是n阶实对称矩阵，满足A2一3A+2E=0，且B=A2一2A+3E． (Ⅰ)求B-1； (Ⅱ)证明：B正定．

已知A是n阶实对称矩阵，满足A2一3A+2E=0，且B=A2一2A+3E． (Ⅰ)求B-1； (Ⅱ)证明：B正定．

admin2016-05-03  46
问题 已知A是n阶实对称矩阵，满足A2一3A+2E=0，且B=A2一2A+3E．
    (Ⅰ)求B-1；
    (Ⅱ)证明：B正定．
选项
答案由题设A2一3A+2E=0，得A2=3A一2E．代入B，得 B=A2—2A+3E=3A一2E一2A+3E=A+E． 又 A2一3A+2E=(A+E)(A一4E)+6E=O，即(A+E)[一[*](A一4E)]=E， 得B=A+E可逆，且B-1=一[*](A一4E)． (Ⅱ)[证]BT=(A2—2A+3E)T=B，B是实对称矩阵． A2一3A+2E=0两边右乘A的特征向量ξ，得(λ2一3λ+2)ξ=0，又ξ≠0，则λ=1或2．故A的特征值只能取值为1或2．B=A+E的特征值只能取值为2或3，均大于零，故B正定． 或B=A2一2A+3E=(A—E)2+2E，由正定矩阵的定义即得证B正定．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/51T4777K
0

考研数学三

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)