2. 考研
  3. 设向量组α1 ，α2 ，α3 ，β1线性相关，向量组α1 ，α2 ，α3 ，β2线性无关，则对于任意常数k，必有( )．

设向量组α1 ，α2 ，α3 ，β1线性相关，向量组α1 ，α2 ，α3 ，β2线性无关，则对于任意常数k，必有( )．

admin2016-12-16  55
问题 设向量组α1 ，α2 ，α3 ，β1线性相关，向量组α1 ，α2 ，α3 ，β2线性无关，则对于任意常数k，必有(     )．
选项 A、α1 ，α2 ，α3 ，kβ1+β2线性无关
B、α1 ，α2 ，α3 ，kβ1+β2线性相关
C、α1 ，α2 ，α3 ，β1+kβ2线性无关
D、α1 ，α2 ，α3 ，β1+kβ2线性相关
答案A
解析 可用线性无关的定义证明．由于k为任意常数，令k取某些特殊值也可用排错法判别。
对于任意常数k，证明(A)成立．设
l1α1+l2α2+l3α3+l4 (kβ1+β2)=0
下证l4=0．若l4≠0，则kβ1+β2可由α1 ，α2 ，α3线性表示，由题设知β1能由α1 ，α2 ，α3线性表示，因而β2能由α1 ，α2 ，α3线性表示，这与α1 ，α2 ，α3 ，β2线性无关相矛盾，所以l4=0，则上述等式可化为l1α1+l2α2+l3α3=0．
而α1 ，α2 ，α3线性无关，故l1=0，l2=0，l3=0，所以α1 ，α2 ，α3 ，kβ1+β2线性无关．仅(A)正确。
当k=0时，显然(B)、(C)不成立。
当k=1时，(D)不成立．事实上，由题设α1 ，α2 ，α3 ，β2线性无关，如果α1 ，α2 ，α3 ，β1+β2线性相关，而α1 ，α2 ，α3线性无关，β1 ，α1 ，α2 ，α3线性相关，则β1能由α1 ，α2 ，α3线性表示，而β2不能，于是β1+β2不能由α1 ，α2 ，α3线性表示，所以(D)不成立，仅(A)入选．
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考研数学三

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