设向量组α1 ，α2 ，α3 ，β1线性相关，向量组α1 ，α2 ，α3 ，β2线性无关，则对于任意常数k，必有( )．

admin2016-12-16 49

问题设向量组α₁ ，α₂ ，α₃ ，β₁线性相关，向量组α₁ ，α₂ ，α₃ ，β₂线性无关，则对于任意常数k，必有( )．

选项 A、α₁ ，α₂ ，α₃ ，kβ₁+β₂线性无关
B、α₁ ，α₂ ，α₃ ，kβ₁+β₂线性相关
C、α₁ ，α₂ ，α₃ ，β₁+kβ₂线性无关
D、α₁ ，α₂ ，α₃ ，β₁+kβ₂线性相关

答案A

解析可用线性无关的定义证明．由于k为任意常数，令k取某些特殊值也可用排错法判别。
对于任意常数k，证明(A)成立．设
l₁α₁+l₂α₂+l₃α₃+l₄ (kβ₁+β₂)=0
下证l₄=0．若l₄≠0，则kβ₁+β₂可由α₁ ，α₂ ，α₃线性表示，由题设知β₁能由α₁ ，α₂ ，α₃线性表示，因而β₂能由α₁ ，α₂ ，α₃线性表示，这与α₁ ，α₂ ，α₃ ，β₂线性无关相矛盾，所以l₄=0，则上述等式可化为l₁α₁+l₂α₂+l₃α₃=0．
而α₁ ，α₂ ，α₃线性无关，故l₁=0，l₂=0，l₃=0，所以α₁ ，α₂ ，α₃ ，kβ₁+β₂线性无关．仅(A)正确。
当k=0时，显然(B)、(C)不成立。
当k=1时，(D)不成立．事实上，由题设α₁ ，α₂ ，α₃ ，β₂线性无关，如果α₁ ，α₂ ，α₃ ，β₁+β₂线性相关，而α₁ ，α₂ ，α₃线性无关，β₁ ，α₁ ，α₂ ，α₃线性相关，则β₁能由α₁ ，α₂ ，α₃线性表示，而β₂不能，于是β₁+β₂不能由α₁ ，α₂ ，α₃线性表示，所以(D)不成立，仅(A)入选．

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考研数学三

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