设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak＝O．证明：A不可以对角化．

admin2017-09-15 118

问题设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A^k＝O．证明：A不可以对角化．

选项

答案令AX＝λX(X≠0)，则有A^kX＝λ^kX，因为A^k＝O，所λ^kX＝0，注意到X≠0，故λ^k＝0，从而λ＝0，即矩阵A只有特征值0．因为r(OE－A)＝r(A)≥1，所以方程组(OE－A)X＝0的基础解系至多含n－1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．

解析

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