设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,fˊ(a)a),则f(x)在[a,+∞)内( ).

admin2022-10-09  35

问题 设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,fˊ(a)<0,fˊˊ(x)≤0(x>a),则f(x)在[a,+∞)内(    ).

选项 A、无根
B、有两个根
C、有无穷多个根
D、有且仅有一个根

答案D

解析 f(x)=f(a)+fˊ(a)(x—a)+(x—a)2,其中ξ介于a与x之间.
因为f(a)=A>0,f(x)= —∞,所以f(x)在[a,+∞)上至少有一个根.
由fˊˊ(x)≤0(x>a)fˊ(x)单调不增,所以当x>a时,fˊ(x)≤fˊ(a)<0f(x)在[a,+∞)为单调减函数,所以根是唯一的,选(D).
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