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设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,fˊ(a)a),则f(x)在[a,+∞)内( ).
设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,fˊ(a)a),则f(x)在[a,+∞)内( ).
admin
2022-10-09
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问题
设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,f(a)=A>0,fˊ(a)<0,fˊˊ(x)≤0(x>a),则f(x)在[a,+∞)内( ).
选项
A、无根
B、有两个根
C、有无穷多个根
D、有且仅有一个根
答案
D
解析
f(x)=f(a)+fˊ(a)(x—a)+
(x—a)
2
,其中ξ介于a与x之间.
因为f(a)=A>0,
f(x)= —∞,所以f(x)在[a,+∞)上至少有一个根.
由fˊˊ(x)≤0(x>a)
fˊ(x)单调不增,所以当x>a时,fˊ(x)≤fˊ(a)<0
f(x)在[a,+∞)为单调减函数,所以根是唯一的,选(D).
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