2. 考研
  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn（n=1，2，…）。 （Ⅰ）证明xn存在，并求该极限； （Ⅱ）计算

设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn（n=1，2，…）。 （Ⅰ）证明xn存在，并求该极限； （Ⅱ）计算

admin2017-12-29  72
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn（n=1，2，…）。
（Ⅰ）证明xn存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算
选项
答案（Ⅰ）因为0＜x1＜π，则 0＜x2=sinx1≤1＜π。 可推得0＜xn+1=slnxn≤1＜π，n=1，2，…，则数列{xn}有界。 于是[*]＜1（因当x＞0时，slnx＜x），则有xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限[*]xn存在。 设[*]xn=l，在xn+1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即[*]xn=0。 [*]
解析
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考研数学三

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