设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn（n=1，2，…）。（Ⅰ）证明xn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算

admin2017-12-29 79

问题设数列{x_n}满足0＜x₁＜π，x_n+1=sinx_n（n=1，2，…）。
（Ⅰ）证明

x_n存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算

选项

答案（Ⅰ）因为0＜x₁＜π，则 0＜x₂=sinx₁≤1＜π。可推得0＜x_n+1=slnx_n≤1＜π，n=1，2，…，则数列{x_n}有界。于是[*]＜1（因当x＞0时，slnx＜x），则有x_n+1＜x_n，可见数列{x_n}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限[*]x_n存在。设[*]x_n=l，在x_n+1=sinx_n两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即[*]x_n=0。 [*]

解析

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