[2009年] 设函数y=f(x)在区间[一1,3]上的图形为 则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为( ).

admin2021-01-19  40

问题 [2009年]  设函数y=f(x)在区间[一1,3]上的图形为

则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为(    ).

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案D

解析 利用命题1.3.3.3即利用变上限定积分定义的函数与其被积函数之间的关系,观察四个选项中图形的不对之处,排除错误选项,确定正确选项.
因f(x)在[一1,3]上只有2个不连续的点(第一类间断点)x=0,x=2,故f(x)在[一1,3]上可积,则对任意x∈[一l,3],F(x)=∫-1xf(t)dt在[一1,3]上连续,特别在x=0处连续,且F(0)=0.而(C)中F(0)=1≠0,排除(C).当x≥2时,有
F(x)=∫02f(t)dt+∫2x0dt=∫02f(t)dt=F(2),
即F(x)在x=2处连续,排除(B).当x∈[-1,0)时,F(x)=∫0xf(t)dt=一∫x01dt=x<0,排除(A).仅(D)入选.
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