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  3. [2009年] 设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为 则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为( )．

[2009年] 设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为 则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为( )．

admin2021-01-19  41
问题 [2009年]  设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为

则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为(    )．
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 利用命题1．3．3．3即利用变上限定积分定义的函数与其被积函数之间的关系，观察四个选项中图形的不对之处，排除错误选项，确定正确选项．
因f(x)在[一1，3]上只有2个不连续的点(第一类间断点)x=0，x=2，故f(x)在[一1，3]上可积，则对任意x∈[一l，3]，F(x)=∫-1xf(t)dt在[一1，3]上连续，特别在x=0处连续，且F(0)=0．而(C)中F(0)=1≠0,排除(C)．当x≥2时，有
F(x)=∫02f(t)dt+∫2x0dt=∫02f(t)dt=F(2)，
即F(x)在x=2处连续，排除(B)．当x∈[－1,0)时，F(x)=∫0xf(t)dt=一∫x01dt=x＜0，排除(A)．仅(D)入选．
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考研数学二

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