设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA—1α≠b。

admin2019-06-28 44

问题设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A^*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。
证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^—1α≠b。

选项

答案由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 [*] ｜P｜｜Q｜=｜PQ｜=[*]=｜A｜²(b一α^TA^—1α)。因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b一α^TA^—1α)。由此可知，Q可逆的充分必要条件是b一α^TA^—1α≠0，即α^TA^—1α≠b。

解析

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