设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续.则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的 ( )

admin2019-01-24  31

问题 设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续.则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的    (  )

选项 A、必要条件而非充分条件.
B、充分条件而非必要条件.
C、充分必要条件.
D、既非充分又非必要条件.

答案C

解析 先证充分性.设φ(0,0)=0,由于φ(x,y)在点(0,0)处连续,所以.由于

按可微定义,f(x,y)在点(0,0)处可微,且df(x,y)=0·△x+0·△y,即fx'(0,0)=0,fy'(0,0)=0.
再证必要性.设f(x,y)在点(0,0)处可微,则fx'(0,0)与fy'(0,0)都存在.

其中x→0时取“+”,x→0时取“-”.由于fx'(0,0)存在,所以φ(0,0)=-φ(0,0),从而φ(0,0)=0.证毕.
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