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设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续.则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的 ( )
设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续.则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的 ( )
admin
2019-01-24
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问题
设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续.则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的 ( )
选项
A、必要条件而非充分条件.
B、充分条件而非必要条件.
C、充分必要条件.
D、既非充分又非必要条件.
答案
C
解析
先证充分性.设φ(0,0)=0,由于φ(x,y)在点(0,0)处连续,所以
.由于
按可微定义,f(x,y)在点(0,0)处可微,且df(x,y)=0·△x+0·△y,即f
x
'(0,0)=0,f
y
'(0,0)=0.
再证必要性.设f(x,y)在点(0,0)处可微,则f
x
'(0,0)与f
y
'(0,0)都存在.
其中x→0
+
时取“+”,x→0
-
时取“-”.由于f
x
'(0,0)存在,所以φ(0,0)=-φ(0,0),从而φ(0,0)=0.证毕.
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考研数学一
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