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  3. 设f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．则φ(0，0)＝0是f(x，y)在点(0，0)处可微的 ( )

设f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．则φ(0，0)＝0是f(x，y)在点(0，0)处可微的 ( )

admin2019-01-24  51
问题 设f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．则φ(0，0)＝0是f(x，y)在点(0，0)处可微的    (  )
选项 A、必要条件而非充分条件．
B、充分条件而非必要条件．
C、充分必要条件．
D、既非充分又非必要条件．
答案C
解析 先证充分性．设φ(0，0)＝0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以．由于

按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微，且df(x，y)＝0·△x＋0·△y，即fx＇(0，0)＝0，fy＇(0，0)＝0．
再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则fx＇(0，0)与fy＇(0，0)都存在．

其中x→0＋时取“＋”，x→0－时取“－”．由于fx＇(0，0)存在，所以φ(0，0)＝-φ(0，0)，从而φ(0，0)＝0．证毕．
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考研数学一

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