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设齐次线性方程组有非零解,且A=为正定矩阵,求a,并求当|X|=时XTAX的最大值.
设齐次线性方程组有非零解,且A=为正定矩阵,求a,并求当|X|=时XTAX的最大值.
admin
2017-08-31
17
问题
设齐次线性方程组
有非零解,且A=
为正定矩阵,求a,并求当|X|=
时X
T
AX的最大值.
选项
答案
因为方程组有非零解,所以[*]=a(a+1)(a一3)=0,即a=一1或a=0或a=3.因为A是正定矩阵,所以a
ii
>0(i=1,2,3),所以a=3,当a=3时,由|λE一A|=[*]=(λ一1)(λ一4)(λ一10)=0得A的特征值为1,4,10.因为A为实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q,使得 f=X
T
AX[*]y
1
2
+4y
2
2
+10y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
) 而当|X|=[*]时, y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=Y
T
Y=Y
T
Q
T
QY=(QY)
T
(QY)=X
T
X=||X||
2
=2 所以当|X|=[*]时,X
T
AX的最大值为20(最大值20可以取到,如y
1
=y
2
=0,y
3
=[*]).
解析
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考研数学一
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