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设f(x)连续,且满足f(x)=x+2∫0x(1-et-x)f(t)dt。 (Ⅰ)验证f(x)满足f’’(x)+f’(x)-2f(x)=1,且f(0)=0,f’(0)=1; (Ⅱ)求f(x)。
设f(x)连续,且满足f(x)=x+2∫0x(1-et-x)f(t)dt。 (Ⅰ)验证f(x)满足f’’(x)+f’(x)-2f(x)=1,且f(0)=0,f’(0)=1; (Ⅱ)求f(x)。
admin
2019-12-06
47
问题
设f(x)连续,且满足f(x)=x+2∫
0
x
(1-e
t-x
)f(t)dt。
(Ⅰ)验证f(x)满足f
’’
(x)+f
’
(x)-2f(x)=1,且f(0)=0,f
’
(0)=1;
(Ⅱ)求f(x)。
选项
答案
(Ⅰ)将x=0代入原方程可得f(0)=0,再将f(x)变形整理为 f(x)=x+2∫
0
x
(1-e
t﹣x
)f(t)dt =x+2∫
0
x
f(x)dx-2e
﹣x
∫
0
x
e
t
f(t)dt, 则 f
’
(x)=1+2e
﹣x
∫
0
x
e
t
f(t)dt, 将x=0代入上式可得f
’
(0)=1。 在等式两边同时乘以e
x
得 e
x
f
’
(x)=e
x
+2∫
0
x
e
t
f(t)dt, 求导可得 e
x
f
’
(x)+e
x
f
’’
(x)=e
x
+2e
x
f(x), 即f(x)满足f
’’
(x)+f
’
(x)-2f(x)=1,且f(0)=0,f
’
(0)=1。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)满足 f
’’
(x)+f
’
(x)-2f(x)=1, 则齐次方程对应的特征方程为λ
2
+λ-2=0,解得λ
1
=1,λ
2
=﹣2,故齐次方程的通解为C
1
e
x
+C
2
e
-2x
,其中C
1
,C
2
为任意常数。 又设原方程的特解为[*]=a,代入原方程解得a=[*],故 f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
﹣2x
[*], 由初始条件f(0)=0,f
’
(0)=1解得C
1
=[*],C
2
=[*],故 f(x)=[*]。
解析
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考研数学二
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