2. 考研
  3. 设f(x)连续，且满足f(x)＝x＋2∫0x(1－et－x)f(t)dt。 (Ⅰ)验证f(x)满足f’’(x)＋f’(x)－2f(x)＝1，且f(0)＝0，f’(0)＝1； (Ⅱ)求f(x)。

设f(x)连续，且满足f(x)＝x＋2∫0x(1－et－x)f(t)dt。 (Ⅰ)验证f(x)满足f’’(x)＋f’(x)－2f(x)＝1，且f(0)＝0，f’(0)＝1； (Ⅱ)求f(x)。

admin2019-12-06  43
问题 设f(x)连续，且满足f(x)＝x＋2∫0x(1－et－x)f(t)dt。
(Ⅰ)验证f(x)满足f’’(x)＋f’(x)－2f(x)＝1，且f(0)＝0，f’(0)＝1；
(Ⅱ)求f(x)。
选项
答案(Ⅰ)将x＝0代入原方程可得f(0)＝0，再将f(x)变形整理为 f(x)＝x＋2∫0x(1－et﹣x)f(t)dt ＝x＋2∫0xf(x)dx－2e﹣x∫0xetf(t)dt， 则 f’(x)＝1＋2e﹣x∫0xetf(t)dt， 将x＝0代入上式可得f’(0)＝1。 在等式两边同时乘以ex得 exf’(x)＝ex＋2∫0xetf(t)dt， 求导可得 exf’(x)＋exf’’(x)＝ex＋2exf(x)， 即f(x)满足f’’(x)＋f’(x)－2f(x)＝1，且f(0)＝0，f’(0)＝1。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f(x)满足 f’’(x)＋f’(x)－2f(x)＝1， 则齐次方程对应的特征方程为λ2＋λ－2＝0，解得λ1＝1，λ2＝﹣2，故齐次方程的通解为C1ex＋C2e－2x，其中C1，C2为任意常数。 又设原方程的特解为[*]＝a，代入原方程解得a＝[*]，故 f(x)＝C1ex＋C2e﹣2x[*]， 由初始条件f(0)＝0，f’(0)＝1解得C1＝[*]，C2＝[*]，故 f(x)＝[*]。
解析
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考研数学二

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