在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(χ，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．

admin2019-02-23 45

问题在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(χ，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．

选项

答案若将此曲线记为y＝y(χ)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y〞≥0，故曲率 K＝[*] 又由于过(χ，f(χ))点的法线方程为X－χ＋y′(χ)[Y－y(χ)]＝0，它与χ轴交点Q的横坐标X₀＝χ＋y′(χ)y(χ)，所以，线段[*]的长度为 [*] 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为 [*] y(1)＝1，y′(1)＝0．解二阶方程的初值问题[*]得 y＝[*](e^χ－1＋e^1－χ)．

解析

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考研数学二

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在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(χ，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．

考研数学二

求曲线y=3-｜x2-1｜与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积．

设函数f(x，y)可微，，求f(x，y)．

微分方程y’-xe-y+=0的通解为______

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)=2．

设向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

把f(x，y)dxdy写成极坐标的累次积分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤z}．

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当x＞0时，证明：

设二元函数f(x，y)=｜x-y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

曲线y=的渐近线的条数为()．

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从所给的四个选项中，选择最合适的一个填人问号处，使之呈现一定的规律性：

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