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在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(χ,Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(χ,Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
admin
2019-02-23
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问题
在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(χ,Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
选项
答案
若将此曲线记为y=y(χ),则依曲率计算公式,并注意曲线凹凸性的假设,即要求y〞≥0,故曲率 K=[*] 又由于过(χ,f(χ))点的法线方程为X-χ+y′(χ)[Y-y(χ)]=0,它与χ轴交点Q的横坐标X
0
=χ+y′(χ)y(χ),所以,线段[*]的长度为 [*] 这样,由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为 [*] y(1)=1,y′(1)=0. 解二阶方程的初值问题[*]得 y=[*](e
χ-1
+e
1-χ
).
解析
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考研数学二
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