在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(χ，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．

admin2019-02-23 64

问题在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(χ，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．

选项

答案若将此曲线记为y＝y(χ)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y〞≥0，故曲率 K＝[*] 又由于过(χ，f(χ))点的法线方程为X－χ＋y′(χ)[Y－y(χ)]＝0，它与χ轴交点Q的横坐标X₀＝χ＋y′(χ)y(χ)，所以，线段[*]的长度为 [*] 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为 [*] y(1)＝1，y′(1)＝0．解二阶方程的初值问题[*]得 y＝[*](e^χ－1＋e^1－χ)．

解析

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考研数学二

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在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(χ，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．

考研数学二

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