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  3. [2012年] 计算二重积分xydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成．

[2012年] 计算二重积分xydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成．

admin2019-05-10  65
问题 [2012年]  计算二重积分xydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成．
选项
答案将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分计算． 令x=rcosθ，y=rsinθ，其中θ∈(0，π)，则 [*]xydσ=∫0πdθ∫01+cosθrcosθ·rsinθrdr=∫0πcosθsinθdθ∫01+cosθr3dr =[*]∫0πsinθcosθ(1+cosθ)4dθ=一[*]∫0πcosθ(1+cosθ)4dcosθ =一[*]∫0π(cosθ+1—1)(1+cosθ)4d(cosθ+1) =一[*]∫0π(1+cosθ)5d(1+cosθ)+[*]∫0π(1+cosθ)4d(1+cosθ) =一[*](1+cosθ)6∣0π+[*](1+cosθ)5 =一[*].
解析
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考研数学二

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