[2012年] 计算二重积分xydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成．

admin2019-05-10 81

问题 [2012年] 计算二重积分

xydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成．

选项

答案将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分计算．令x=rcosθ，y=rsinθ，其中θ∈(0，π)，则 [*]xydσ=∫₀^πdθ∫₀^1+cosθrcosθ·rsinθrdr=∫₀^πcosθsinθdθ∫₀^1+cosθr³dr =[*]∫₀^πsinθcosθ(1+cosθ)⁴dθ=一[*]∫₀^πcosθ(1+cosθ)⁴dcosθ =一[*]∫₀^π(cosθ+1—1)(1+cosθ)⁴d(cosθ+1) =一[*]∫₀^π(1+cosθ)⁵d(1+cosθ)+[*]∫₀^π(1+cosθ)⁴d(1+cosθ) =一[*](1+cosθ)⁶∣₀^π+[*](1+cosθ)⁵ =一[*].

解析

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