微分方程+4y=eos2x的通解为y=_______．

admin2015-05-07 63

问题微分方程

+4y=eos2x的通解为y=_______．

选项

答案[*]sin2x+C₁cos2x+C₂sin2x

解析 y"+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是r²+4=0．它的两个特征根为r_1，2=±2i．因此对应的齐次方程的通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x．λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为
y^*=x(Acos2x+Bsin2x)，
则 (y^*)’=x(－2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，
(y^*)"=－x(4Acos2x+4Bsin2x)－4Asin2x+4Bcos2x．
将上两式代入方程y"+4y=cos2x中，得－4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．
比较上式系数得A=0，B=

故原方程的通解为y=

sin2x+C₁cos2x+C₂sin2x

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