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设有两个n维非零向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…bn]T. 设C=E-αβT,其中E为n阶单位矩阵,证明:CTC=E=βTα-αβT+ββT的充要条件是αTα=1.
设有两个n维非零向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…bn]T. 设C=E-αβT,其中E为n阶单位矩阵,证明:CTC=E=βTα-αβT+ββT的充要条件是αTα=1.
admin
2021-07-27
22
问题
设有两个n维非零向量α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
,β=[b
1
,b
2
,…b
n
]
T
.
设C=E-αβ
T
,其中E为n阶单位矩阵,证明:C
T
C=E=β
T
α-αβ
T
+ββ
T
的充要条件是α
T
α=1.
选项
答案
由于C
T
C=(E-αβ
T
)
T
(E-αβ
T
)=(E-αβ
T
)(E-αβ
T
)=E-βα
T
-αβ
T
+βα
T
αβ
T
,故若要求C
T
C=E-βα
T
-αβ
T
+ββ
T
,则βα
T
αβ
T
-ββ
T
=O,β(α
T
α-1)β
T
=O,即(α
T
α-1)ββ
T
=O因为β≠0,所以ββ
T
≠O.故C
T
C=E-βα
T
-αβ
T
+ββ
T
的充要条件是α
T
α=1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/THy4777K
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考研数学二
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