设有两个n维非零向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…bn]T．设C=E-αβT，其中E为n阶单位矩阵，证明：CTC=E=βTα-αβT+ββT的充要条件是αTα=1．

admin2021-07-27 66

问题设有两个n维非零向量α=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…b_n]^T．
设C=E-αβ^T，其中E为n阶单位矩阵，证明：C^TC=E=β^Tα-αβ^T+ββ^T的充要条件是α^Tα=1．

选项

答案由于C^TC=(E-αβ^T)^T(E-αβ^T)=(E-αβ^T)(E-αβ^T)=E-βα^T-αβ^T+βα^Tαβ^T，故若要求C^TC=E-βα^T-αβ^T+ββ^T，则βα^Tαβ^T-ββ^T=O，β(α^Tα-1)β^T=O，即(α^Tα-1)ββ^T=O因为β≠0，所以ββ^T≠O．故C^TC=E-βα^T-αβ^T+ββ^T的充要条件是α^Tα=1．

解析

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