如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行，问：当n=2012时，第32行的第17个数是_________． 1 3 5 7 9

admin2017-10-16 119

问题如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行，问：当n=2012时，第32行的第17个数是_________．
1 3 5 7 9 11 ……
  4 8  12  16 20  ……
12  20 28 36 ……
      ………………
      …………
         ……
            ．

选项

答案2³⁷

解析设第k行的第一个数为a_k，
则a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a₃=12=2a₂+2²，
a₄=32=2a₃+2³，
……
由以上归纳，得a_k=2a_k－1+2^k－1(k≥2，且k∈N^*)，

∴a_n=n．2^n－1(n∈N^*)．
由数阵的排列规律可知，每行的数(倒数两行另行考虑)都成等差数列，
且公差依次为：2，2²，…，2^k，…
第n行的首项为a_n=n．2^n－1(n∈N^*)，公差为2ⁿ，
∴第32行的首项为a₃₂=32．2³¹=2³⁶，公差为2³²，
∴第32行的第17个数是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故答案为2³⁷．

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如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的n个数分别是1，3，5，…，2n一1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行，问：当n=2012时，第32行的第17个数是_________． 1 3 5 7 9

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