讨论黎曼函数f(x)=在区间[0，1]上的不连续点的类型．

admin2022-10-31 28

问题讨论黎曼函数f(x)=

在区间[0，1]上的不连续点的类型．

选项

答案(1)先证f(x)在[0，1]上无理点都连续．设无理数ξ∈[0，1]．∵｜f(x)-f(ξ)｜=f(x)． ∴对[*]ε＞0，若x为0，1或无理数，总有｜f(x)-f(ξ)｜=f(x)=0＜ε．若x=p／q，在[0，1]中既约分数的分母不大于n(n=2／ε)的仅有有限个，选其中最接近于ξ的，记为x’，取δ=｜ξ-x’｜，则当[*]＜δ时，有｜f(x)-f(ξ)｜=[*]． (2)再证(0，1)上的有理点均为f(x)的第二类间断点．设有理数p／q∈(0，1)，取无理数列{x_n}，使得[*]．再取有理数列{y_n}，使[*]．从而[*]不存在，即p／q为f(x)的第二类间断点． (3)类似可证1不是f(x)的左连续点，0是f(x)的右连续点．

解析

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考研数学三

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