2. 考研
  3. 设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则下列关系中不正确的是( )

设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则下列关系中不正确的是( )

admin2016-05-03  61
问题 设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则下列关系中不正确的是(    )
选项 A、｜A+B｜=｜A｜｜B｜．
B、(AB)—1=A—1B—1．
C、(A—E)x=0 只有零解．
D、B—E不可逆．
答案D
解析 因A，B满足AB=A+B，两边取行列式，显然有｜A+B｜=｜AB｜=｜A｜｜B｜，(A)正确．
  由    AB=A+B，
  移项，提公因子得
    AB=A=A(B—E)=B，
    A(B—E)=B—E+E，
    (A—E)(B—E)=E．
  故A—E，B—E都是可逆矩阵，且互为逆矩阵，从而知方程组(A—E)x=0只有零解，(C)正确．B—E不可逆是错误的，(D)不正确．又因
    (A—E)(B—E)=E，
  故    (B—E)(A—E)=E，
  从而有BA一A—B+E=E，BA=A+B，得AB=BA，则(AB)—1=(BA)—1=A—1B—1，故(B)正确．
  因此(A)、(B)、(C)是正确的，应选(D)．
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考研数学三

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