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设A,B是n阶可逆矩阵,满足AB=A+B.则下列关系中不正确的是( )
设A,B是n阶可逆矩阵,满足AB=A+B.则下列关系中不正确的是( )
admin
2016-05-03
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问题
设A,B是n阶可逆矩阵,满足AB=A+B.则下列关系中不正确的是( )
选项
A、|A+B|=|A||B|.
B、(AB)
—1
=A
—1
B
—1
.
C、(A—E)x=0 只有零解.
D、B—E不可逆.
答案
D
解析
因A,B满足AB=A+B,两边取行列式,显然有|A+B|=|AB|=|A||B|,(A)正确.
由 AB=A+B,
移项,提公因子得
AB=A=A(B—E)=B,
A(B—E)=B—E+E,
(A—E)(B—E)=E.
故A—E,B—E都是可逆矩阵,且互为逆矩阵,从而知方程组(A—E)x=0只有零解,(C)正确.B—E不可逆是错误的,(D)不正确.又因
(A—E)(B—E)=E,
故 (B—E)(A—E)=E,
从而有BA一A—B+E=E,BA=A+B,得AB=BA,则(AB)
—1
=(BA)
—1
=A
—1
B
—1
,故(B)正确.
因此(A)、(B)、(C)是正确的,应选(D).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5mT4777K
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考研数学三
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