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设奇函数f(x)在[-1,1]上二阶可导,且f(1)=1,证明: 存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1.
设奇函数f(x)在[-1,1]上二阶可导,且f(1)=1,证明: 存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1.
admin
2017-12-23
59
问题
设奇函数f(x)在[-1,1]上二阶可导,且f(1)=1,证明:
存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1.
选项
答案
令φ(x)=e
x
[f’(x)-1], 因为f(x)为奇函数,所以f’(x)为偶函数,由f’(ξ)=1得f’(-ξ)=1. 因为φ(-ξ)=φ(ξ),所以存在η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=e
x
[f’’(x)+f’(x)-1]且e
x
≠0, 故f’’(η)+f’(η)=1.
解析
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考研数学二
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