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设A为m×n矩阵(m<n)且r(A)=m,下列命题: ①存在可逆矩阵P,使得PA=(Em0); ②存在可逆矩阵Q,使得AQ=(Em0); ③方程组AX=b存在无数个解; ④若矩阵B满足AB=0,则B=0, 正确的命题为( ).
设A为m×n矩阵(m<n)且r(A)=m,下列命题: ①存在可逆矩阵P,使得PA=(Em0); ②存在可逆矩阵Q,使得AQ=(Em0); ③方程组AX=b存在无数个解; ④若矩阵B满足AB=0,则B=0, 正确的命题为( ).
admin
2021-03-16
65
问题
设A为m×n矩阵(m<n)且r(A)=m,下列命题:
①存在可逆矩阵P,使得PA=(E
m
0);
②存在可逆矩阵Q,使得AQ=(E
m
0);
③方程组AX=b存在无数个解;
④若矩阵B满足AB=0,则B=0,
正确的命题为( ).
选项
A、①②
B、②③
C、①③
D、②④
答案
B
解析
取A=
,①不对;
因为r(A)=m,即A行满秩,所以A经过有限次列变换可化为(E
m
0),即存在可逆矩阵Q,使得AQ=(E
m
0),②正确;
显然
≥r(A)=m,又
为m×(n+1)矩阵,从而
≤m,
于是r(A)=
=m<n,方程组AX=b有无数个解,③正确;
由AB=0得r(A)+r(B)≤n,因为r(A)=m<n,所以r(B)不一定为零,即B不一定是零矩阵,④不对,应选B
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5sy4777K
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考研数学二
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