设A为m×n矩阵(m＜n)且r(A)＝m，下列命题： ①存在可逆矩阵P，使得PA＝(Em0)； ②存在可逆矩阵Q，使得AQ＝(Em0)； ③方程组AX＝b存在无数个解； ④若矩阵B满足AB＝0，则B＝0，正确的命题为( )．

admin2021-03-16 74

问题设A为m×n矩阵(m＜n)且r(A)＝m，下列命题：
①存在可逆矩阵P，使得PA＝(E_m

0)；
②存在可逆矩阵Q，使得AQ＝(E_m

0)；
  ③方程组AX＝b存在无数个解；
  ④若矩阵B满足AB＝0，则B＝0，
  正确的命题为( )．

选项 A、①②
B、②③
C、①③
D、②④

答案B

解析取A＝

，①不对；
因为r(A)＝m，即A行满秩，所以A经过有限次列变换可化为(E_m

0)，即存在可逆矩阵Q，使得AQ＝(E_m

0)，②正确；
显然

≥r(A)＝m，又

为m×(n＋1)矩阵，从而

≤m，
于是r(A)＝

＝m＜n，方程组AX＝b有无数个解，③正确；
由AB＝0得r(A)+r(B)≤n，因为r(A)＝m＜n，所以r(B)不一定为零，即B不一定是零矩阵，④不对，应选B

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考研数学二

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