2. 考研
  3. 设A为m×n矩阵(m＜n)且r(A)＝m，下列命题： ①存在可逆矩阵P，使得PA＝(Em0)； ②存在可逆矩阵Q，使得AQ＝(Em0)； ③方程组AX＝b存在无数个解； ④若矩阵B满足AB＝0，则B＝0， 正确的命题为( )．

设A为m×n矩阵(m＜n)且r(A)＝m，下列命题： ①存在可逆矩阵P，使得PA＝(Em0)； ②存在可逆矩阵Q，使得AQ＝(Em0)； ③方程组AX＝b存在无数个解； ④若矩阵B满足AB＝0，则B＝0， 正确的命题为( )．

admin2021-03-16  109
问题 设A为m×n矩阵(m＜n)且r(A)＝m，下列命题：
  ①存在可逆矩阵P，使得PA＝(Em0)；
  ②存在可逆矩阵Q，使得AQ＝(Em0)；
  ③方程组AX＝b存在无数个解；
  ④若矩阵B满足AB＝0，则B＝0，
  正确的命题为(    )．
选项 A、①②
B、②③
C、①③
D、②④
答案B
解析 取A＝，①不对；
因为r(A)＝m，即A行满秩，所以A经过有限次列变换可化为(Em0)，即存在可逆矩阵Q，使得AQ＝(Em0)，②正确；
显然≥r(A)＝m，又为m×(n＋1)矩阵，从而≤m，
于是r(A)＝＝m＜n，方程组AX＝b有无数个解，③正确；
由AB＝0得r(A)+r(B)≤n，因为r(A)＝m＜n，所以r(B)不一定为零，即B不一定是零矩阵，④不对，应选B
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考研数学二

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