设A为m×n矩阵(m<n)且r(A)=m,下列命题: ①存在可逆矩阵P,使得PA=(Em0); ②存在可逆矩阵Q,使得AQ=(Em0); ③方程组AX=b存在无数个解; ④若矩阵B满足AB=0,则B=0, 正确的命题为( ).

admin2021-03-16  65

问题 设A为m×n矩阵(m<n)且r(A)=m,下列命题:
  ①存在可逆矩阵P,使得PA=(Em0);
  ②存在可逆矩阵Q,使得AQ=(Em0);
  ③方程组AX=b存在无数个解;
  ④若矩阵B满足AB=0,则B=0,
  正确的命题为(    ).

选项 A、①②
B、②③
C、①③
D、②④

答案B

解析 取A=,①不对;
因为r(A)=m,即A行满秩,所以A经过有限次列变换可化为(Em0),即存在可逆矩阵Q,使得AQ=(Em0),②正确;
显然≥r(A)=m,又为m×(n+1)矩阵,从而≤m,
于是r(A)==m<n,方程组AX=b有无数个解,③正确;
由AB=0得r(A)+r(B)≤n,因为r(A)=m<n,所以r(B)不一定为零,即B不一定是零矩阵,④不对,应选B
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