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(1)设A是n阶方阵,满足A2=A,证明A相似于对角阵; (2)设,求可逆阵P使得P-1AP=Λ,其中Λ是对角阵.
(1)设A是n阶方阵,满足A2=A,证明A相似于对角阵; (2)设,求可逆阵P使得P-1AP=Λ,其中Λ是对角阵.
admin
2019-08-11
55
问题
(1)设A是n阶方阵,满足A
2
=A,证明A相似于对角阵;
(2)设
,求可逆阵P使得P
-1
AP=Λ,其中Λ是对角阵.
选项
答案
(1)由题设A
2
=A,故A
2
-A=A(A-E)=(A-E)A=O,故 r(A)+r(A-E)≤n. 又 r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n, 故r(A)+r(A-E)=n. 设r(A)=r,r(A-E)=n-r. 因(A-E)A=O,r(A)=r,A中r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=1的特征向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
. 又A(A-E)=O,r(A-E)=n-r,A-E中n-r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=0的特征向量,记为η
1
,η
2
,η
3
,…,η
n-r
,不同特征值对应的特征向量线性无关. 故取P= (ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,η
1
,η
2
,…,η
n-r
),P可逆,且 [*] (2)[*] 满足上一题的条件,由上知 r(A)=1,A的线性无关列向量[*]是A的对应于特征值λ=1的特征向量. r(A-E)=2,[*]的线性无关列向量[*]是A的对应于特征值λ=0的特征向量. [*]
解析
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考研数学二
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