2. 考研
  3. (1)设A是n阶方阵，满足A2=A，证明A相似于对角阵； (2)设，求可逆阵P使得P－1AP=Λ，其中Λ是对角阵．

(1)设A是n阶方阵，满足A2=A，证明A相似于对角阵； (2)设，求可逆阵P使得P－1AP=Λ，其中Λ是对角阵．

admin2019-08-11  98
问题 (1)设A是n阶方阵，满足A2=A，证明A相似于对角阵；
(2)设，求可逆阵P使得P－1AP=Λ，其中Λ是对角阵．
选项
答案(1)由题设A2=A，故A2－A=A(A－E)=(A－E)A=O，故 r(A)+r(A－E)≤n． 又 r(A)+r(A－E)=r(A)+r(E－A)≥r(A+E－A)=r(E)=n， 故r(A)+r(A－E)=n． 设r(A)=r，r(A－E)=n－r． 因(A－E)A=O，r(A)=r，A中r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=1的特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξr． 又A(A－E)=O，r(A－E)=n－r，A－E中n－r个线性无关列向量是A的对应于特征值λ=0的特征向量，记为η1，η2，η3，…，η n－r ，不同特征值对应的特征向量线性无关． 故取P= (ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，η n－r )，P可逆，且 [*] (2)[*] 满足上一题的条件，由上知 r(A)=1，A的线性无关列向量[*]是A的对应于特征值λ=1的特征向量． r(A－E)=2，[*]的线性无关列向量[*]是A的对应于特征值λ=0的特征向量． [*]
解析
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考研数学二

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