设曲线方程为y=e—x(x≥0)． (Ⅰ)把曲线y=e—x，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)；并求满足V(a)=V(ξ)的a值； (Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标

admin2017-10-23 57

问题设曲线方程为y=e^—x(x≥0)．
(Ⅰ)把曲线y=e^—x，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)；并求满足V(a)=

V(ξ)的a值；
(Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴围成的平面图形的面积最大，并求出该面积．

选项

答案(Ⅰ)[*] 它与x轴的交点是(1+x₀，0)，它与y轴的交点是(0，(1+x₀)[*])，于是切线与两坐标轴所围平面图形是两直角边长分别为｜1+x₀｜和｜1+x₀｜[*]的直角三角形，其面积为 5=[*]，x₀≥0．令S’=[*]，在x₀=1有S"(1)＜0，故S在x₀=1取得最大值，且maxS=S(1)=[*]处的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积最大，且该面积是[*]．

解析

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考研数学三

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设曲线方程为y=e—x(x≥0)． (Ⅰ)把曲线y=e—x，x轴，y轴和直线x=ξ(ξ＞0)所围平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)；并求满足V(a)=V(ξ)的a值； (Ⅱ)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标

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