设A是秩为3的4阶矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解，若α1+α2+α3=（0，6，3，9）T，2α1－α3=（1，3，3，3）T，k为任意常数，则Ax=b的通解为( )

admin2016-04-29 81

问题设A是秩为3的4阶矩阵，α₁，α₂，α₃是非齐次线性方程组Ax=b的三个解，若α₁+α₂+α₃=（0，6，3，9）^T，2α₁－α₃=（1，3，3，3）^T，k为任意常数，则Ax=b的通解为( )

选项 A、（0，6，3，9）^T+k（1，1，2，0）^T
B、（0，2，1，3）^T+k（－1，3，0，6）^T
C、（1，3，3，3）^T+k（1，1，2，0）^T
D、（－1，3，0，6）^T+ k（－2，0，－3，0）^T

答案C

解析本题考查非齐次线性方程组解的结构，属于基础题．
由r(A)=3，知齐次方程组Ax=0的基础解系只有一个解向量．
由非齐次线性方程组解的性质，知
(α₁+α₂+α₃)－3(2α₂－α₃)=(α₁－α₂)+4(α₃－α₂)=（－3，－3，－6，0）^T
是Ax=0的解，所以Ax=0的基础解系为（1，1，2，0）^T．
又
2α₂－α₃=α₂+(α₂－α₃)=（1，3，3，3）^T
是Ax=b的解，所以Ax=b的通解为（1，3，3，3）^T+k（1，1，2，0）^T，故应选(C)．

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考研数学三

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