随机地向圆x2+y2=2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令X表示该点与原点的连线与x轴正半轴的夹角，求X的分布函数和概率密度。

admin2018-12-29 61

问题随机地向圆x²+y²=2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令X表示该点与原点的连线与x轴正半轴的夹角，求X的分布函数和概率密度。

选项

答案令F(x)为X的分布函数，则F(x)=P{X≤x}，由于F(x)=0的取值范围为[*]，因此当x＜0时，F(x)=0；当[*]时，F(x)=1。 [*] 当[*]，X≤x所代表的区域如图3—2—5中阴影部分所示。现计算它的面积，如图所示，阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为 S₁=[*]×1×1×sin(π—2x)=[*]sin2x，每个扇形的面积均为S₂=[*]×2x×1²=x，则阴影部分的总面积S(x)=sin2x+2x，所以 [*]

解析

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考研数学一

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随机地向圆x2+y2=2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令X表示该点与原点的连线与x轴正半轴的夹角，求X的分布函数和概率密度。

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