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随机地向圆x2+y2=2x内投一点,该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比,令X表示该点与原点的连线与x轴正半轴的夹角,求X的分布函数和概率密度。
随机地向圆x2+y2=2x内投一点,该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比,令X表示该点与原点的连线与x轴正半轴的夹角,求X的分布函数和概率密度。
admin
2018-12-29
29
问题
随机地向圆x
2
+y
2
=2x内投一点,该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比,令X表示该点与原点的连线与x轴正半轴的夹角,求X的分布函数和概率密度。
选项
答案
令F(x)为X的分布函数,则F(x)=P{X≤x},由于F(x)=0的取值范围为[*],因此当x<0时,F(x)=0;当[*]时,F(x)=1。 [*] 当[*],X≤x所代表的区域如图3—2—5中阴影部分所示。现计算它的面积,如图所示,阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为 S
1
=[*]×1×1×sin(π—2x)=[*]sin2x, 每个扇形的面积均为S
2
=[*]×2x×1
2
=x,则阴影部分的总面积S(x)=sin2x+2x,所以 [*]
解析
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考研数学一
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