设y=cosx，求y(n)．

admin2019-02-20 43

问题设y=cosx，求y⁽ⁿ⁾．

选项

答案逐一求导，得 y’=cosx+x(cosx)’， y"=2(cosx)’+x(cosx)"， y"=y⁽³⁾=3(cosx)"+x(cosx)⁽³⁾，…观察其规律得y⁽ⁿ⁾=n(cosx)^(n－1)+x(cosx)⁽ⁿ⁾． (*) 用归纳法证明：当n=1时(*)显然成立，设n=后时(*)式成立，得 y^(k+1)=k(cosx)^(k)+(cosx)^(k))+x(cosx)^(k+1)=(k+1)(cosx)^(k)+x(cosx)^(k+1))，即n=k+1时成立，因此(*)式对任意自然数n成立．再用(cosx)⁽ⁿ⁾的公式得 [*]

解析

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考研数学三

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