[2001年] 设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式.二次型 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由?

admin2019-06-25  46

问题 [2001年]  设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式.二次型
               
二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由?

选项

答案首先应注意,因合同变换不改变二次型的正惯性指数及负惯性指数,因而合同变换不改变二次型的规范形,即当两个二次型f(X)与g(X)的矩阵合同时,二次型f(X)与g(X)有相同的规范形.基于此,有下面三种方法证明f(X)与g(X)有相同的规范形. 解一 证f(X)与g(X)的矩阵合同.事实上,存在可逆矩阵A-1,使 (A-1)TAA-1=(A-1)T=(AT)-1=A-1. 于是g(X)=XTAX与f(X)=XTA-1X有相同的规范形. 解二 对二次型g(X)=XTAX作可逆的线性变换X=A-1Y,其中Y=[y1,y2,…,yn]T, 则g(X)=XTAX=(A-1Y)TAA-1Y=YT(A-1)TAA-1y=YTA-1Y.由此可知,A与A-1合同,则f(X)与g(X)必有相同的规范形. 解三 设A的全部特征值为λ1,λ2,…,λn,则A-1的全部特征值为1/λ1,1/λ2,…,1/λn.可见A与A-1的特征值中正与负的项数分别相同,因而二次型f(X)=XTA-1X与g(X)=XTAX的标准形中系数为正与负的项数分别相同,从而f(X)与g(X)有相同的正、负惯性指数,故它们有相同的规范形.

解析
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