[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式．二次型二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由?

admin2019-06-25 85

问题 [2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=[a_ij]_n×n中元素a_ij的代数余子式．二次型

二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由?

选项

答案首先应注意，因合同变换不改变二次型的正惯性指数及负惯性指数，因而合同变换不改变二次型的规范形，即当两个二次型f(X)与g(X)的矩阵合同时，二次型f(X)与g(X)有相同的规范形．基于此，有下面三种方法证明f(X)与g(X)有相同的规范形．解一证f(X)与g(X)的矩阵合同．事实上，存在可逆矩阵A^-1，使 (A^－1)^TAA^－1=(A^－1)^T=(A^T)^－1=A^－1．于是g(X)=X^TAX与f(X)=X^TA^－1X有相同的规范形．解二对二次型g(X)=X^TAX作可逆的线性变换X=A^-1Y，其中Y=[y₁，y₂，…，y_n]^T，则g(X)=X^TAX=(A^－1Y)^TAA^－1Y=Y^T(A^－1)^TAA^－1y=Y^TA^－1Y．由此可知，A与A^－1合同，则f(X)与g(X)必有相同的规范形．解三设A的全部特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A^－1的全部特征值为1／λ₁，1／λ₂，…，1／λ_n．可见A与A^－1的特征值中正与负的项数分别相同，因而二次型f(X)=X^TA^－1X与g(X)=X^TAX的标准形中系数为正与负的项数分别相同，从而f(X)与g(X)有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形．

解析

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考研数学三

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[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式．二次型二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由?

考研数学三

设随机变量X～N(μ，σ2)，且方程x2+4x+X=0无实根的概率为则μ=_________．

设f(x)为连续函数，求

设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～U[一1，3]，Z～N(1，32)，且随机变量U=X+2Y一3Z+2，则D(U)=__________．

设f(x)二阶可导，f(1)=0，令φ(x)=x2f(x)，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=0．

设A为n阶矩阵，且A2一2A一8E=O．证明：r(4E—A)+r(2E+A)=n．

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设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则()．

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