[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式．二次型二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由?

admin2019-06-25 44

问题 [2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=[a_ij]_n×n中元素a_ij的代数余子式．二次型

二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由?

选项

答案首先应注意，因合同变换不改变二次型的正惯性指数及负惯性指数，因而合同变换不改变二次型的规范形，即当两个二次型f(X)与g(X)的矩阵合同时，二次型f(X)与g(X)有相同的规范形．基于此，有下面三种方法证明f(X)与g(X)有相同的规范形．解一证f(X)与g(X)的矩阵合同．事实上，存在可逆矩阵A^-1，使 (A^－1)^TAA^－1=(A^－1)^T=(A^T)^－1=A^－1．于是g(X)=X^TAX与f(X)=X^TA^－1X有相同的规范形．解二对二次型g(X)=X^TAX作可逆的线性变换X=A^-1Y，其中Y=[y₁，y₂，…，y_n]^T，则g(X)=X^TAX=(A^－1Y)^TAA^－1Y=Y^T(A^－1)^TAA^－1y=Y^TA^－1Y．由此可知，A与A^－1合同，则f(X)与g(X)必有相同的规范形．解三设A的全部特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A^－1的全部特征值为1／λ₁，1／λ₂，…，1／λ_n．可见A与A^－1的特征值中正与负的项数分别相同，因而二次型f(X)=X^TA^－1X与g(X)=X^TAX的标准形中系数为正与负的项数分别相同，从而f(X)与g(X)有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形．

解析

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考研数学三

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[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式．二次型二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由?

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设随机变量．X～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，则对任意常数a，有()．

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设周期为4的函数f(x)处处可导，且则曲线y=f(x)在(一3，f(一3))处的切线为_________．

设函数f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＜0，则在(0，a]上()．

设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．

设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．

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读四年级的鹏鹏正在用新学习的四个运算法则写老师布置的数学作业，在一年级的时候他只能解答个位数的运算，通过不断的学习，现在已经能够解答两位数的运算。可以用皮亚杰认知发展理论中的()去解释这种现象。

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将“回收站”的最大空间设置为每个驱动器的10%。

--Whatdoyouthinkofthecake?--It’snice.I’dliketohave

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