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设3阶矩阵A的各行元素之和都为2,又α1=(1,2,2)T和α2=(0,2,1)T分别是(A-E)X=0的(A+E)X=0的解. (1)求A的特征值与特征向量. (2)求矩阵A.
设3阶矩阵A的各行元素之和都为2,又α1=(1,2,2)T和α2=(0,2,1)T分别是(A-E)X=0的(A+E)X=0的解. (1)求A的特征值与特征向量. (2)求矩阵A.
admin
2016-10-21
75
问题
设3阶矩阵A的各行元素之和都为2,又α
1
=(1,2,2)
T
和α
2
=(0,2,1)
T
分别是(A-E)X=0的(A+E)X=0的解.
(1)求A的特征值与特征向量.
(2)求矩阵A.
选项
答案
(1)α
1
=(1,2,2)
T
是(A-E)X=0的解,即Aα
1
=α
1
,于是α
1
是A的特征向量,特征值为1. 同理得α
2
,是A的特征向量,特征值为-1. 记α
3
=(1,1,1)
T
,由于A的各行元素之和都为2,Aα
3
=(2,2,2)
T
=2α
3
,即α
3
也是A的特征向量,特征值为2. 于是A的特征值为1,-1,2. 属于1的特征向量为cα
1
,c≠0. 属于-1的特征向量为cα
2
,c≠0. 属于2的特征向量为cα
3
,c≠0. (2)建立矩阵方程A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,-α
2
,2α
3
),用初等变换法求解: ((α
1
,α
2
,α
3
)
T
|(α
1
,-α
2
,2α
3
)
T
) [*]
解析
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考研数学二
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