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  3. 已知双曲线C：．过点(1，1)作直线l，使l与C只有一个交点，满足这个条件的直线l共有[ ]条．

已知双曲线C：．过点(1，1)作直线l，使l与C只有一个交点，满足这个条件的直线l共有[ ]条．

admin2014-09-08  119
问题 已知双曲线C：．过点(1，1)作直线l，使l与C只有一个交点，满足这个条件的直线l共有[    ]条．
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 过点(1，1)的直线，如果斜率不存在，则直线为x＝1，它与C有一个公共点，即C右支上的顶点(1，0)．
    过点(1，1)且斜率为k的直线方程为y＝k(x—1)＋1．将y代入C的方程，得
    (4—k2)x2＋2(k2—k)x—(k2—2k＋5)＝0．    (*)
    若k＝±2，方程(*)可分别解出一个x，即有两条符合条件的直线．若k≠±2，(*)式为二次方程，其判别式
△＝4(k2—k)2＋4(4—k2)(k2—2k＋5)＝4(—8k＋20)．
当时，△＝0，1与C有一公共点．
    综上，共有4条直线满足条件，其中2条分别平行于双曲线的渐近线(k＝±2)，另两条分别与双曲线的右支相切．结合图形不作上述计算也可得到选项D．
    故选D．
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