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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,l3:ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,l3:ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2021-01-19
62
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,l
2
:bx+2cy+3a=0,l
3
:ax+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
必要性 设三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则二元线性方程组 [*] 有惟一解,故其系数矩阵A=[*]的秩均为2,于是有|[*]|=0. 由于[*] =6(a+b+c)[a
2
+ b
2
+ c
2
一ab 一 ac 一bc] =3(a+b+c)[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
]及 (a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
≠0(否则a=b=c,则三条直线重合,从而有无穷多个交点,与交点惟一矛盾),所以a+b+c=0. 充分性 若a+b+c=0,则由必要性的证明知[*]<3,又系数矩阵A中有一个二阶子式 [*] 故秩(A)=2,于是有秩(A)=秩(A)=2,因此方程组(*)有惟一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
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考研数学二
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