2. 考研
  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0，l2:bx+2cy+3a=0，l3:ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0，l2:bx+2cy+3a=0，l3:ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2021-01-19  58
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax+2by+3c=0，l2:bx+2cy+3a=0，l3:ax+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
选项
答案必要性 设三直线l1，l2，l3交于一点，则二元线性方程组 [*] 有惟一解，故其系数矩阵A=[*]的秩均为2，于是有|[*]|=0． 由于[*] =6(a+b+c)[a2+ b2+ c2一ab 一 ac 一bc] =3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]及 (a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0(否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0． 充分性 若a+b+c=0，则由必要性的证明知[*]＜3，又系数矩阵A中有一个二阶子式 [*] 故秩(A)=2，于是有秩(A)=秩(A)=2，因此方程组(*)有惟一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．
解析
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考研数学二

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