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设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P= 其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (Ⅰ)计算并化简PQ； (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P= 其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (Ⅰ)计算并化简PQ； (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
admin
2016-10-20
128
问题
设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=
其中A
*
是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
(Ⅰ)计算并化简PQ；
(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α
T
A
-1
α≠b．
选项
答案
(Ⅰ)由AA
*
=A
*
A=｜A｜E 及A
*
=｜A｜A
-1
有 [*] (Ⅱ)用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 [*] 因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b-α
T
A
-1
α)． 由此可知，Q可逆的充分必要条件是b-α
T
A
-1
α≠0，即α
T
A
-1
α≠b．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6cT4777K
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考研数学三
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[*]
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