设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

admin2013-09-29 53

问题设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ^’(x，y)≠0，已知(x₀，y₀)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

选项 A、若f_x^’(x₀，y₀)=0，则f_y^’(x₀，y₀)=0
B、若f_x^’(x₀，y₀)=0，则f_y^’(x₀，y₀)≠0
C、若f_x^’(x₀，y₀)≠0，则f_y^’(x₀，y₀)=O
D、若f_x^’(x₀，y₀)≠0，则f_y^’(x₀，y₀)≠0

答案D

解析依题意知(x₀，y₀)是拉格朗日函数，F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)的驻点，即(x₀，y₀)使得

因为φ^’(x₀，y₀)≠0，所以从(2)式可得

代入(1)式得f_x^’(x₀，y₀)-

  即f_x^’(x₀，y₀)φ_y^’(x₀，y₀)=φ_x^’(x₀，y₀)f_y^’(x₀，y₀)．
  当f_x^’(x₀，y₀)≠0且φ_y^’，(x₀，y₀)≠0时，f_x^’(x₀，y₀)φ_y^’(x₀，y₀)≠O，
  从而f_x^’(x₀，y₀)≠0，故选(D)．

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考研数学三

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