设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φ’(x,y)≠0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).

admin2013-09-29  39

问题 设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φ(x,y)≠0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是(    ).

选项 A、若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0
B、若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)≠0
C、若fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)=O
D、若fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)≠0

答案D

解析 依题意知(x0,y0)是拉格朗日函数,F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)的驻点,即(x0,y0)使得
因为φ(x0,y0)≠0,所以从(2)式可得
代入(1)式得fx(x0,y0)-
  即fx(x0,y0y(x0,y0)=φx(x0,y0)fy(x0,y0).
  当fx(x0,y0)≠0且φy,(x0,y0)≠0时,fx(x0,y0y(x0,y0)≠O,
  从而fx(x0,y0)≠0,故选(D).
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