设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是( )

admin2022-08-12 53

问题设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是( )

选项 A、r(A)=m
B、A的行向量组线性相关
C、r(A)=n
D、A的列向量组线性相关

答案A

解析非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。由系数矩阵A是m×n矩阵知，增广矩阵A=(A，b)是m×(n+1)矩阵，进而可知，r(A)≤r(A)≤m。若r(A)=m，则r(A)=r(A)=m，Ax=b有唯一解，但当r(A)=r(A)＜m时，Ax=b有无穷解，所以r(A)=m是非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件。B，C，D三项均不能保证r(A)=r(A)。故本题选A。

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