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设f(x,y)=x3+y3=3x2-3y2,求f(x,y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值.
设f(x,y)=x3+y3=3x2-3y2,求f(x,y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值.
admin
2017-10-25
26
问题
设f(x,y)=x
3
+y
3
=3x
2
-3y
2
,求f(x,y)的极值及其在x
2
+y
2
≤16上的最大值.
选项
答案
根据题意可得 [*] 解得x
1
=0,x
2
=2,y
1
=0,y
2
=2. 即共有4个极值可疑点:(0,0),(0,2),(2,0),(2,2). 又因为 [*] 则在点(0,0)处, B
2
-AC=0-(-6)×(-6)=-36<0且A=-6<0. 所以点(0,0)是一个极大值点且极大值为f(0,0)=0. 同理,f(2,2)=-8是一个极小值;而f(0,2)与f(2,0)不是极值. 由上面讨论可知,f(x,y)在闭域D上的最大值,若在D内达到,必是在(0,0)点取得,但也可能在D的边界上,故建立拉格朗日函数. 令 L(x,y,λ)=x
3
+y
3
-3x
2
-3y
2
+λ(x
2
+y
2
-16), 则有 [*] 解得:x=0,y=4或x=4,y=0或x=[*] 因此f(x,y)在D上的最大值为 [*]
解析
先求出函数f(x,y)在区域D:x
2
+y
2
≤16内的极值可疑点(x
i
,y
i
)(i=1,2,…,m);再利用极值的充分判别法判断每个点是否为极值点,若是极值点,则求出对应的极值;最后由拉格朗日乘数法求得f(x,y)在D的边界上的可疑极值,将以上所得函数值进行比较,便可得到结果.
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考研数学一
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