设f(x,y)=x3+y3=3x2-3y2,求f(x,y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值.

admin2017-10-25  26

问题 设f(x,y)=x3+y3=3x2-3y2,求f(x,y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值.

选项

答案根据题意可得 [*] 解得x1=0,x2=2,y1=0,y2=2. 即共有4个极值可疑点:(0,0),(0,2),(2,0),(2,2). 又因为 [*] 则在点(0,0)处, B2-AC=0-(-6)×(-6)=-36<0且A=-6<0. 所以点(0,0)是一个极大值点且极大值为f(0,0)=0. 同理,f(2,2)=-8是一个极小值;而f(0,2)与f(2,0)不是极值. 由上面讨论可知,f(x,y)在闭域D上的最大值,若在D内达到,必是在(0,0)点取得,但也可能在D的边界上,故建立拉格朗日函数. 令 L(x,y,λ)=x3+y3-3x2-3y2+λ(x2+y2-16), 则有 [*] 解得:x=0,y=4或x=4,y=0或x=[*] 因此f(x,y)在D上的最大值为 [*]

解析 先求出函数f(x,y)在区域D:x2+y2≤16内的极值可疑点(xi,yi)(i=1,2,…,m);再利用极值的充分判别法判断每个点是否为极值点,若是极值点,则求出对应的极值;最后由拉格朗日乘数法求得f(x,y)在D的边界上的可疑极值,将以上所得函数值进行比较,便可得到结果.
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