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  3. 设f(x，y)=x3+y3=3x2-3y2，求f(x，y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值．

设f(x，y)=x3+y3=3x2-3y2，求f(x，y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值．

admin2017-10-25  72
问题 设f(x，y)=x3+y3=3x2-3y2，求f(x，y)的极值及其在x2+y2≤16上的最大值．
选项
答案根据题意可得 [*] 解得x1=0，x2=2，y1=0，y2=2． 即共有4个极值可疑点：(0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2)． 又因为 [*] 则在点(0，0)处， B2-AC=0-(-6)×(-6)=-36＜0且A=-6＜0． 所以点(0，0)是一个极大值点且极大值为f(0，0)=0． 同理，f(2，2)=-8是一个极小值；而f(0，2)与f(2，0)不是极值． 由上面讨论可知，f(x，y)在闭域D上的最大值，若在D内达到，必是在(0，0)点取得，但也可能在D的边界上，故建立拉格朗日函数． 令 L(x，y，λ)=x3+y3-3x2-3y2+λ(x2+y2-16)， 则有 [*] 解得：x=0，y=4或x=4，y=0或x=[*] 因此f(x，y)在D上的最大值为 [*]
解析 先求出函数f(x，y)在区域D：x2+y2≤16内的极值可疑点(xi，yi)(i=1，2，…，m)；再利用极值的充分判别法判断每个点是否为极值点，若是极值点，则求出对应的极值；最后由拉格朗日乘数法求得f(x，y)在D的边界上的可疑极值，将以上所得函数值进行比较，便可得到结果．
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考研数学一

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