设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，A是n阶矩阵．证明：Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关的充分必要条件是A可逆．

admin2021-11-09 82

问题设α₁，α₂，…，α_n为n个n维线性无关的向量，A是n阶矩阵．证明：Aα₁，Aα₂，…，Aα_n线性无关的充分必要条件是A可逆．

选项

答案令B=(α₁，α₂，…，α_n)，因为α₁，α₂，…，α_n为n个n维线性无关的向量，所以r(B)=n．(Aα₁，Aα₂，…，Aα_n)=AB，因为r(AB)=r(A)，所以Aα₁，Aα₂，…，Aα_n线性无关的充分必要条件是r(A)=n，即A可逆．

解析

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