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甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml,同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液,将其倒入对方的容器搅匀,这称为一次调和.记a1=10%,b1=20%,经n-1(n≥2)次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an,bn. 求证:数列
甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml,同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液,将其倒入对方的容器搅匀,这称为一次调和.记a1=10%,b1=20%,经n-1(n≥2)次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an,bn. 求证:数列
admin
2010-02-09
72
问题
甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml,同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液,将其倒入对方的容器搅匀,这称为一次调和.记a
1
=10%,b
1
=20%,经n-1(n≥2)次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为a
n
,b
n
.
求证:数列{a
n
-b
n
}是等比数列,数列{a
n
+b
n
}是常数数列;
选项
答案
证明:上面两式相减得.a
n
-b
n
=[*](a
n-1
-b
n-1
) ∵a
1
-b
1
≠0,所以数列{a
n
-b
n
}是首项为-10%,公比为[*]的等比数列两式相加得:a
n
+b
n
=a
n-1
+b
n-1
=……=a
1
+b
1
=30%, ∴数列{a
n
+b
n
)是常数数列.
解析
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