2. 考研
  3. 设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。 当α1=时，求出所有的向量γ。

设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。 当α1=时，求出所有的向量γ。

admin2021-11-09  81
问题 设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。
当α1=时，求出所有的向量γ。
选项
答案四个三维向量α1，α2，β1，β2必线性相关，故有不全为零的数k1，k2，l1，l2，使得 k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0。 令γ=k1α1+k2α2= —l1β1—l2β2，则必有k1，k2不全为零。否则，若k1=k2=0，由k1，k2，l1，l2不全为零知，l1，l2不全为零，从而—l1β1—l1β2=0，这与β1，β2线性无关相矛盾，所以k1，k2不全为0。同理l1，l2亦不全为0。从而γ≠0，且它既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。 对已知的α1，α2，β1，β2，设x1α1+x2α2+y1β1+y2β2=0，对α1，α2，β1，β2组成的矩阵作初等行变换，有 [*] 于是得方程组的通解为k(0，—3，—2，1)T，即 x1=0，x2= —3k，y1= —2k，y2=k， 所以 γ= —3kα2=[*]，l为任意常数。
解析
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考研数学二

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