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设α1,α2,β1,β2均是三维向量,且α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,证明存在非零向量γ,使得γ既可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出。 当α1=时,求出所有的向量γ。
设α1,α2,β1,β2均是三维向量,且α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,证明存在非零向量γ,使得γ既可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出。 当α1=时,求出所有的向量γ。
admin
2021-11-09
94
问题
设α
1
,α
2
,β
1
,β
2
均是三维向量,且α
1
,α
2
线性无关,β
1
,β
2
线性无关,证明存在非零向量γ,使得γ既可由α
1
,α
2
线性表出,又可由β
1
,β
2
线性表出。
当α
1
=
时,求出所有的向量γ。
选项
答案
四个三维向量α
1
,α
2
,β
1
,β
2
必线性相关,故有不全为零的数k
1
,k
2
,l
1
,l
2
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+l
1
β
1
+l
2
β
2
=0。 令γ=k
1
α
1
+k
2
α
2
= —l
1
β
1
—l
2
β
2
,则必有k
1
,k
2
不全为零。否则,若k
1
=k
2
=0,由k
1
,k
2
,l
1
,l
2
不全为零知,l
1
,l
2
不全为零,从而—l
1
β
1
—l
1
β
2
=0,这与β
1
,β
2
线性无关相矛盾,所以k
1
,k
2
不全为0。同理l
1
,l
2
亦不全为0。从而γ≠0,且它既可由α
1
,α
2
线性表出,又可由β
1
,β
2
线性表出。 对已知的α
1
,α
2
,β
1
,β
2
,设x
1
α
1
+x
2
α
2
+y
1
β
1
+y
2
β
2
=0,对α
1
,α
2
,β
1
,β
2
组成的矩阵作初等行变换,有 [*] 于是得方程组的通解为k(0,—3,—2,1)
T
,即 x
1
=0,x
2
= —3k,y
1
= —2k,y
2
=k, 所以 γ= —3kα
2
=[*],l为任意常数。
解析
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考研数学二
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