求椭圆面4x2+y2+z2=6在(1，1，1)处的切平面与三个坐标面所围成的立体的体积．

admin2023-03-22 25

问题求椭圆面4x²+y²+z²=6在(1，1，1)处的切平面与三个坐标面所围成的立体的体积．

选项

答案设F(x，y，z)=4x²+y²+z²-6，则 F’_x(x，y，z)=8x， F’_y(x，y，z)=2y， F’_z(x，y，z)=2z，即 F’_x(1，1，1)=8，F’_y(1，1，1)=2， F’_z(1，1，1)=2，故切平面方程为 8(x-1)+2(y-1)+2(z-1)=0，即4x+y+z-6=0，则由平面4x+y+z-6=0与三个坐标面所围成的立体区域为 Ω={(x，y，z)｜0≤x≤3／2，0≤y≤6-4x，0≤z≤6-4x-y}，所以体积 V=[*]dv=∫₀^3／2dx∫₀^6-4xdy∫₀^6-4x-ydz=9．

解析

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考研数学一

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