已知f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足xf(x)=1+∫0xu2f(u)du．求f(x);

admin2023-01-04 23

问题已知f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足xf(x)=1+∫₀^xu²f(u)du．
求f(x);

选项

答案已知等式两边同时对x求导，得xf’(x)+f(x)=x²f(x)，即 f’(x)+([*]-x)f(x)=0．解一阶线性微分方程，得f(x)=[*]．令x=1，则f(1)=Ce^1／2．又 f(1)=1+∫₀¹u²f(u)du=1+∫₀¹u²·[*]du=1+C(e^1／2-1)， Ce^1／2=1+Ce^1／2-C，解得C=1．所求f(x)=[*](x＞0)．

解析

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