设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-01-21 64

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）²，
记

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ ββ^T；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）² [*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T+ ββ^T。（Ⅱ）设A=2αα^T+ ββ^T，由于|α|=1，α^Tβ=β^Tα=0，则 Aα=（2αα^T+ββ^T）α=2α|α| ²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Ap=（2αα^T+ββ^T）β=2αα^Tβ+β|β| ²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα^T+ ββ^T）≤r（2αα^T）+ r（ββ^T）=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学三

差分方程yx+1－3yx＝7.2x的通解为_______．

设函数f(x)对任意x均满足等式f(1＋x)＝af(x)，且fˊ(0)＝b，其中a，b为非零常数，则()．

设总体X的概率密度为其中λ＞0为未知参数，a＞0是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本X1，X1…，X，求λ的最大似然估计量．

设其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)＝1，gˊ(0)＝－1；(I)求fˊ(x)；(Ⅱ)讨论fˊ(x)在(－∞，+∞)上的连续性．

设齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均足Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③符Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)

设A，B为两个随机事件，且P(A)=1/4，P(B丨A)=1/3，P(A丨B)=1/2，令X与Y的相关系数pXY；

设A，B为两个随机事件，且P(A)=1/4，P(B丨A)=1/3，P(A丨B)=1/2，令二维随机变量(X，Y)的概率分布；

设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题中错误的是

A、 B、 C、 D、 B因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有可见有I1＞I2，可排除C、D，又由I2＜，可排除A，故应选B。

构建社会主义和谐社会是巩固执政党地位的()。

“春季多风病，夏季多暑病，…冬季多寒病”反映的六淫致病的特点是

某企业以资本公积转增资本，会计人员对此项经济业务应该编制()。

对儿童游客的服务要掌握好“四不宜”原则，其中不包括()。

无固定期限的劳动合同是()的劳动合同。

A、 B、 C、 D、 B第一组图中，最外层的“U”型框的开口方向各不相同，分别为上、下、右，第二组图规律相同，由此排除C和D。再看“U”型框内部的线条数，第一组图中为O、2、1，各不相同，第二组图规律相同，

下列选项中不是影响概念转变的因素的是()

以下选项中描述正确的是

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2， 记 （Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT； （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

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差分方程yx+1－3yx＝7.2x的通解为_______．

设函数f(x)对任意x均满足等式f(1＋x)＝af(x)，且fˊ(0)＝b，其中a，b为非零常数，则()．

设总体X的概率密度为其中λ＞0为未知参数，a＞0是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本X1，X1…，X，求λ的最大似然估计量．

设其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)＝1，gˊ(0)＝－1；(I)求fˊ(x)；(Ⅱ)讨论fˊ(x)在(－∞，+∞)上的连续性．

设齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均足Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③符Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)

设A，B为两个随机事件，且P(A)=1/4，P(B丨A)=1/3，P(A丨B)=1/2，令X与Y的相关系数pXY；

设A，B为两个随机事件，且P(A)=1/4，P(B丨A)=1/3，P(A丨B)=1/2，令二维随机变量(X，Y)的概率分布；

设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题中错误的是

A、 B、 C、 D、 B因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有可见有I1＞I2，可排除C、D，又由I2＜，可排除A，故应选B。

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某企业以资本公积转增资本，会计人员对此项经济业务应该编制()。

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A、 B、 C、 D、 B第一组图中，最外层的“U”型框的开口方向各不相同，分别为上、下、右，第二组图规律相同，由此排除C和D。再看“U”型框内部的线条数，第一组图中为O、2、1，各不相同，第二组图规律相同，

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