设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2, 记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT; (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-01-21  31

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x32+(b1x1+b2x2+b3x32

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT
(Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22

选项

答案(Ⅰ)f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x32+(b1x1+b2x2+b3x32 [*] 所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT。 (Ⅱ)设A=2ααT+ ββT,由于|α|=1,αTβ=βTα=0,则 Aα=(2ααT+ββT)α=2α|α| 2+ββTα=2α, 所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量; Ap=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β|β| 2=β, 所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r(A)=r(2ααT+ ββT)≤r(2ααT)+ r(ββT)=2, 所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y12+y22

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