2. 考研
  3. 设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2， 记 （Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT； （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2， 记 （Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT； （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-01-21  49
问题 设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，
记
（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
选项
答案（Ⅰ）f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2 [*] 所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT。 （Ⅱ）设A=2ααT+ ββT，由于|α|=1，αTβ=βTα=0，则 Aα=（2ααT+ββT）α=2α|α| 2+ββTα=2α， 所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量； Ap=（2ααT+ββT）β=2ααTβ+β|β| 2=β， 所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r（A）=r（2ααT+ ββT）≤r（2ααT）+ r（ββT）=2， 所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
解析
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考研数学三

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