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设α是n维单位列向量,A=E-ααT.证明:r(A)<n.
设α是n维单位列向量,A=E-ααT.证明:r(A)<n.
admin
2022-11-03
280
问题
设α是n维单位列向量,A=E-αα
T
.证明:r(A)<n.
选项
答案
A
2
=(E-αα
T
)(E-αα
T
)=E-2αα
T
+αα
T
·αα
T
,因为α为单位列向量,所以α
T
α=1,于是A
2
=A.由A(E-A)=0得r(A)+r(E-A)≤n,又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n,得r(A)+r(E-A)=n,因为E-A=αα
T
≠0,所以r(E-A)=r(αα
T
)=r(α)=1,故r(A)=n-1<n.
解析
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考研数学三
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