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η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: η*,η*+ξ1,…,η*+ξn—r,线性无关。
η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: η*,η*+ξ1,…,η*+ξn—r,线性无关。
admin
2019-05-11
65
问题
η
*
是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ
1
,…,ξ
n—r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:
η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ξ
n—r
,线性无关。
选项
答案
假设η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ξ
n—r
线性相关,则存在不全为零的数c
0
,c
1
,…,c
n—r
使 c
0
η
*
+c
1
(η
*
+ξ
1
)+…+c
n—r
(η
*
+ξ
n—r
)=0, 即 (c
0
+c
1
+…+c
n—r
)η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
=0。 (2) 用矩阵A左乘上式两边,得 0=A[(c
0
+c
1
+…+c
n—r
)η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
] =(c
0
+c
1
+…+c
n—r
)Aη
*
+c
1
Aξ
1
+…+c
n—r
Aξ
n—r
, =(c
0
+c
1
+…+c
n—r
)b, 因为b≠0,故c
0
+c
1
+…+c
n—r
=0,代入(2)式,有 c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
=0, ξ
1
,…,ξ
n—r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ
1
,…,ξ
n—r
线性无关,因此c
1
=c
2
=…=c
n—r
=0,则c
0
=0。与假设矛盾。 综上,向量组η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ξ
n—r
线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/78V4777K
0
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