设f(χ)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(χ)≠0(1<χ<2),又存在且非零,证明: (1)存在ξ∈(1,2),使得 (2)存在η∈(1,2),使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f′(η)ln2.

admin2017-09-15  45

问题 设f(χ)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(χ)≠0(1<χ<2),又存在且非零,证明:
    (1)存在ξ∈(1,2),使得
    (2)存在η∈(1,2),使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f′(η)ln2.

选项

答案(1)令h(χ)=lnχ,F(χ)=∫1χf(t)dt,且F′(χ)=f(χ)≠0, 由柯西中值定理,存在ξ∈(1,2),使得[*], 即[*] (2)由[*]存在得f(1)=0, 由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)-f(1)=f′(η)(ξ-1),其中1<η<ξ, 故∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f′(η)ln2.

解析
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