2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)； (2)在(a，b)内至少存在一点η(η≠ξ)，使得f"(η)=f

设f(x)在[a，b]上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)； (2)在(a，b)内至少存在一点η(η≠ξ)，使得f"(η)=f

admin2018-05-16  55
问题 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；
    (2)在(a，b)内至少存在一点η(η≠ξ)，使得f"(η)=f(η)．
选项
答案(1)令F(x)=∫axf(t)dt，F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F’(c)=0，即f(c)=0． 令h(x)=e-xf(x)，h(a)=h(c)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(a，c)，使得h’(ξ)=0， 由h’(x)=e-x[f’(x)一f(x)]且e-x≠0，故f’(ξ)=f(ξ)． (2)同理，由h(c)=h(b)=0，则存在ζ∈(c，b)，使得f’(ζ)=f(ζ)． 令φ(x)=ex[f’(x)一f(x)],φ(ξ)=φ(ζ)=0， 由罗尔定理，存在η∈(ξ，ζ)[*](a，b)，使得φ’(η)=0， 而φ’(x)=ex[f"(x)一f(x)]且ex≠0，故f"(η)=f(η)．
解析
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考研数学二

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