求连续函数f(x),使它满足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2.

admin2013-09-15  73

问题 求连续函数f(x),使它满足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2

选项

答案方程f(x)+2∫02f(t)dt=x2两边对x求导得f(x)+2f(x)=2x, 令x=0,由原方程得f(0)=0. 于是,原问题就转化为求微分方程f(x)+2f(x)=2x满足初始条件f(0)=0的特解. 由一阶线性微分方程的通解公式,得 f(x)=e-∫2dx(∫2x*e∫2dxdx+C)=e-2x(∫2xe2xdx+C)=Ce-2x+x- 1/2. 代入初始条件f(0)=0,得C=1/2,从而f(x)=[*]

解析
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