2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上存在二阶导数，且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0， 证明：(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使得

设f(x)，g(x)在[a，b]上存在二阶导数，且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0， 证明：(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使得

admin2017-11-13  56
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上存在二阶导数，且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝0，
  证明：(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0；
  (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使得
选项
答案 证明 (1)(反证法)假设存在点c∈(a，b)，使g(c)＝0，则f(x)，g(x)分别在区间[a，c]，[c，b]上用罗尔定理，得jε1∈(a，c)，ε2∈(c，b)，使得gˊ(ε1)＝gˊ(ε2)＝0，进而再在区间[ε1，ε2]上对gˊ(x)再用罗尔定理知了ε3∈(ε1，ε2)，使得g〞(ε3)＝0；但这与题设g〞(x)≠0矛盾 所以在开区间(a，b)内g(x)≠0 (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使得[*] 设F(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)，易知 F(a)＝f(a)gˊ(a)－fˊ(a)g(a)＝0， F(b)＝f(b)gˊ(b)－fˊ(b)g(b)＝0，在[a，b]上对F(x)用罗尔定理， 必存在ε∈(a，b)，使fˊ(ε)＝0 Fˊ(ε)＝Fˊ(x)｜x＝ε＝[fˊ(x)gˊ(x)+f(x)g〞(x)－f〞(x)g(x)－fˊ(x)gˊ(x)]｜x＝ε ＝[f(x)g〞(x)－f〞(x)g(x)]｜x＝ε＝f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)＝0 又因为g(ε)≠0，g〞(ε)≠0 所以[*] ε∈(a，b)
解析
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考研数学一

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