设函数f(x)有连续导数,F(x)=∫0xf(t)fˊ(2a-t)dt.证明: F(2a)-2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a).

admin2016-09-13  27

问题 设函数f(x)有连续导数,F(x)=∫0xf(t)fˊ(2a-t)dt.证明:
F(2a)-2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a).

选项

答案F(2a)-2F(a)=∫02af(t)fˊ(2a-t)dt-2∫0af(t)fˊ(2a-t)dt =∫a2af(t)fˊ(2a-t)dt-∫0af(t)fˊ(2a-t)dt, 其中∫a2af(t)fˊ(2a-t)dt=f2(a)-f(0)f(2a)+∫a2af(2a-t)fˊ(t)dt,所以 F(2a)-2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)+∫a2af(2a-t)fˊ(t)dt-∫0af(t)fˊ(2a-t)dt, 又∫a2af(2a-t)fˊ(t)dt[*]∫0af(u)fˊ(2a-u)du=∫0af(t)fˊ(2a-t)dt,所以 F(2a)-2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a).

解析
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