2. 考研
  3. 设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)fˊ(2a－t)dt．证明： F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．

设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)fˊ(2a－t)dt．证明： F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．

admin2016-09-13  46
问题 设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)fˊ(2a－t)dt．证明：
F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．
选项
答案F(2a)－2F(a)=∫02af(t)fˊ(2a－t)dt－2∫0af(t)fˊ(2a－t)dt =∫a2af(t)fˊ(2a－t)dt－∫0af(t)fˊ(2a－t)dt， 其中∫a2af(t)fˊ(2a－t)dt=f2(a)－f(0)f(2a)+∫a2af(2a－t)fˊ(t)dt，所以 F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)+∫a2af(2a－t)fˊ(t)dt－∫0af(t)fˊ(2a－t)dt， 又∫a2af(2a－t)fˊ(t)dt[*]∫0af(u)fˊ(2a－u)du=∫0af(t)fˊ(2a－t)dt，所以 F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．
解析
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考研数学三

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