2. 考研
  3. 设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，b=α1+α2+…+αn，证明：方程组Ax=b有无穷多个解；求方程组AX=b的通解．

设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，b=α1+α2+…+αn，证明：方程组Ax=b有无穷多个解；求方程组AX=b的通解．

admin2022-11-07  59
问题 设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，b=α1+α2+…+αn，证明：方程组Ax=b有无穷多个解；求方程组AX=b的通解．
选项
答案因为r(A)=n-1，又b=α1+α2+…+αn，所以r(A)=n-1，即r(A)=r(A)=n-1＜n，所以方程组AX=b有无穷多个解．因为a1+2α2+…+(n-1)an-1=0，所以a1+2α2+…+(n-1)an-1+0an=0，即齐次线性方程组AX=0有基础解系ξ=(1，2，…，n-1，0)T，又因为b=a1+α2+…+an所以方程组AX=b有特解η=(1，1，…，1)T，故方程组AX=b的通解为kξ+η=k(1，2，…，n-1，0)T+(1，1，…，1)T(k为任意常数)．
解析
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考研数学三

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