求证：ex+e－x+2cosx=5恰有两个根．

admin2017-03-15 56

问题求证：e^x+e^－x+2cosx=5恰有两个根．

选项

答案即证f(x)=e^x+e^－x+2cosx－5在(－∞，+∞)恰有两个零点．由于 f′(x)=e^x－e^－x－2sinx， f″(x)=e^x+e^－x－2cosx＞2－2cosx≥0 (x≠0)， [*]f′(x)在(－∞，+∞)↑．又因f′(0)=0[*]f′(x)[*]f(x)在(－∞，0]单调下降，在[0，+∞)单调上升．又f(0)=－1＜0，[*]f(x)=+∞，因此f(x)在(－∞，0)与(0，+∞)各[*]唯一零点，即在(－∞，+∞)恰有两个零点．

解析

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